* Écart entre fréquence et proportion

Exercice 1

Une entreprise agroalimentaire produit de très grandes quantités de compotes. Selon les données de production, 92 % des pots sont conformes à la norme qualité.

Dix contrôleurs sont chargés de prélever chacun un échantillon de 100 pots au hasard dans la production du jour. On note le nombre de pots conformes observés par chaque contrôleur dans le tableau suivant.

\(\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\textbf{Contrôleur n°} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\\hline \textbf{Nombre de pots conformes} & 93 & 88 & 90 & 92 & 89 & 94 & 91 & 87 & 90 & 93 \\\hline\end{array}\)

1. Calculer la fréquence \(f\) de conformité observée dans chacun des 10 échantillons.

2. Quelle est la proportion théorique \(p\) de pots conformes à la norme qualité dans la production ?

3. a. Calculer, pour chaque échantillon, l’écart absolu \(\lvert f-p \rvert\).
    b. Calculer la proportion des cas où cet écart est inférieur ou égal à \(\dfrac{1}{\sqrt{100}}\).

Exercice 2

Un fabricant affirme que 80 % de ses batteries tiennent la charge plus de 24 heures. Pour tester cette affirmation, 10 techniciens testent chacun 10 000 batteries, tirées au hasard dans l'entrepôt. On reporte le nombre de batteries qui ont effectivement tenu plus de 24 heures dans chaque échantillon dans le tableau suivant.

\(\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\textbf{Technicien n°} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\\hline \textbf{Charge supérieure à 24h} & 7984 & 8052 & 7923 & 7835 & 8015 & 7958 & 8274 & 8110 & 7890 & 8022 \\\hline\end{array}\)1. Calculer la fréquence observée \(f\) de batteries dont la charge est supérieure à 24 heures dans chacun des 10 échantillons.

2. Selon le fabricant, quelle est la proportion théorique \(p\) des batteries tenant la charge plus de 24 heures ?

3. a. Calculer, pour chaque échantillon, l’écart absolu \(\lvert f-p \rvert\). 
    b. Déterminer combien de fréquences respectent la condition \(\lvert f - p \rvert \leq \dfrac{1}{\sqrt{10\ 000}}\).
    c. Que pensez-vous de l'affirmation du fabricant suite à l'observation précédente ?

Propriété (hors-programme)

On estime que, pour 95 % des échantillons de taille \(n\) suffisamment grande, l'écart entre la fréquence observée \(f\) et la probabilité \(p\) d'un caractère est inférieure ou égale à \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\). Cela signifie que la plupart du temps, on a \(\boxed{\left\lvert f - p \right\rvert \leq \dfrac{1}{\sqrt{n}}}\).